www.VuzLib.com

Головна arrow Психологія arrow Прояви мисленнєвих стилів у числовому та символьному компонентах творчого математичного мислення
Меню
Головна
Каталог освітніх сайтів

Прояви мисленнєвих стилів у числовому та символьному компонентах творчого математичного мислення

Л.А. Мойсеєнко

ПРОЯВИ МИСЛЕННЄВИХ СТИЛІВ У ЧИСЛОВОМУ ТА СИМВОЛЬНОМУ КОМПОНЕНТАХ ТВОРЧОГО МАТЕМАТИЧНОГО МИСЛЕННЯ

   Проблема з'ясування сутності психологічних аспектів індивідуально-особистісних відмінностей процесу мислення залишається актуальною на сьогодні. Останнім часом науковці звернули свою увагу на з'ясування індивідуального стилю діяльності, як інтегрального поняття, що дає інформацію про індивідуально-особистісну своєрідність діяльності. Адже загально визнаним серед дослідників є положення про обумовленість стилевих закономірностей властивостями людської індивідуальності.
   Мета даної статті виявити і вивчити мисленнєві стилі у творчому математичному процесі взагалі та проаналізувати сутності стилевих відмінностей у функціонуванні числового та символьного компонентах цього мислення [8].
   Аналіз наукових досліджень і публікацій. Як удало зауважує М.О. Холодна: “... різні піддослідні по-різному ментально “бачать” одну і ту ж ситуацію і, відповідно, по-різному на неї реагують” [13, с 53]. З іншого боку О.В. Лібін наголошує: “... стиль - це феномен, що має подвійну природу і виникає на перетині індивідуальності із середовищем”. [11, с 281]. Отже, стиль займає рубіжне положення між індивідуальністю й середовищем, бо він є одночасно і винаходом людини, і засобом будь-якої діяльності чи активності, що спрямована на перетворення середовища (стиль малювання, стиль письма, стиль пізнання тощо). Це створює підґрунтя для дослідження стилю людини або через вивчення її індивідуальності, або через вивчення особливостей тієї діяльності, у процесі якої даний стиль виник.Зокрема, B.C. Мерлін, досліджуючи природу стилю як особистісного утворення, вивів важливі закономірності, що власне сприяють формуванню індивідуального стилю в будь-якій діяльності [6]. Це, по-перше, існування зони невизначеності як умови формування стилю: людина, усвідомлюючи багатоваріантність методів виконання діяльності, обмежується одним, конкретним, який відповідає її стилю. При цьому зона невизначеності суб'єктивно обумовлена: різні люди бачать різну кількість варіантів. По-друге, стиль формується лише при наявності позитивного відношення до діяльності, особистої участі в ній. Тобто стиль забезпечує емоційний фон пошукового процесу. Водночас, стиль може сприяти як адаптації людини до діяльності, так і адаптації діяльності до людини, а також і до того і до другого одночасно [11], а, тому може виражати сутність мотиваційного аспекту діяльності та його процесу цілеутворення (див. рис. 1).
   Зауважимо, що під поняттям стилю математичного мислення ми будемо розуміти цілісну систему взаємопов'язаних дій, за допомагаю яких досягається результат. Ця система знаходиться у залежності від об'єктивних вимог математичної діяльності і від властивостей особистості та включає в себе індивідуально-своєрідне застосування операцій, методів дій, проміжних цілей тощо. При цьому А.Ф. Кудряшов вважає, що стиль математичного мислення пов'язаний з перевагами математика в системі модальних антологій [5]. В.Я. Пермінов звертає увагу науковців на існуючі в структурі знань математика дві принципово відмінні одна від одної системи уявлень - емпіричної й категоріальної.
   Згідно його точки зору, саме зміст поєднання емпіричної й категоріальної систем у мисленні математиків і є тією основою, що дає право диференціювати їх мислення щодо стилів [9]. Вважаючи стиль математичного мислення поєднанням змісту й форми творчої математичної діяльності, В.Є. Войцехович виділяє три фактори, що на його думку лежать в основі класифікації математичного мислення вчених на стилі: особа вченого; специфічні властивості математичного знання; соціокультурний контекст даного часу [3]. Л.Б. Султанова стверджує, що неявні знання та інтуїція визначають стиль математичного мислення. [12].

Рис. 1

   Отже, математичний стиль - це така сукупність індивідуально-особистісних ознак, що відрізняє діяльність в галузі математики однієї людини від такої ж діяльності іншої, не стосуючись технологічних особливостей цієї діяльності, тобто - це проявлення багатоплановості конкретного виду діяльності і її результатів. Стиль - це мисленнєвий почерк, індивідуальна особливість людини.
   Результати експериментального дослідження. Ми залучили до експериментального дослідження студентів Івано-Франківського національного технічного університету нафти і газу. Для проведення класифікації їх стилів мисленнєвих у математичній діяльності, ми аналізували пошуковий процес при розв'язанні ними трьох спеціально підібраних задач. Це багатосмислові задачі, що містять приховану проблемність та кілька варіантів розв'язків. Кожен із таких варіантів ґрунтується на різних узагальнених схемах, що відображають певний смисл задачі. Процес розв'язання цих задач передбачає виникнення догадок. Догадки сприяють швидшому розв'язанню задач і є свідченням виникнення неусвідомлених мисленнєвих знахідок та їх функціонування при розв'язанні творчих математичних задач. Але ці задачі можна розв'язати, не опираючись на них [8].
   Проаналізувавши пошуковий процес студентів, ми виділили три різних стилі математичного мислення і дали їм відповідно назви: диференціальний, інтегральний і диференціально-інтегральний [7].
   При диференціальному стилі математичного мислення задача спочатку сприймалась студентами як набір розрізнених математичних об'єктів, які потрібно ретельно дослідити для з'ясування існуючих зв'язків і побудови моделі проблемної ситуації. Основна ціль мисленнєвого процесу диференціального стилю при розв'язанні задачі - глибокий аналіз змісту для зведення нової задачі в цілому або її частини до відомої задачі, але поки що не виявленої суб'єктом. Первинне уявлення про розв'язок при диференціальному стилі математичного мислення виникає як усвідомлений результат інтелектуальної діяльності дещо пізніше. Логічні кроки інкрустуються догадками, що, у свою чергу, прискорює пошук, але уявлення про розв'язок формується з первинного поняття усвідомлено й планомірно.
   Принципово інше сприйняття задачі у студентів із інтегральним мисленням. Для них задача - це цілісна система математичних об'єктів із функціонуючими певними своїми властивостями. Із набору всеможливих властивостей складових, математичні елементи, входять в задачу лише з деякими, тобто структурні елементи відразу породжують конкретний операційний смисл, що визначає напрям пошуку і забезпечує виникнення догадки. Пошукова діяльність інтегрального стилю математичного мислення скеровується догадкою, яка виникає на початкових етапах, без видимих, планомірно проведених мисленнєвих дій. В подальшому ставиться ціль дослідити (підтвердити або спростувати) виниклу догадку, що досягається за допомогою використання відомих логічних прийомів в межах діючої моделі. Тобто, при інтегральному математичному стилі мислення первинне поняття про розв'язок виникає неусвідомлено, але формується в розв'язок за допомогою планомірних усвідомлених мисленнєвих кроків.
   Сприйняття задачі студентами з диференціально-інтегральним стилем неоднозначне. Може статися, що спершу для них задача - це набір різноманітних математичних об'єктів як для студентів із диференціальним стилем математичного мислення, або цілісна система, як для студентів із інтегральним мисленням, але через певний проміжок часу, вони змінюють це первинне бачення задачі на інше. Пошуковий процес може розпочинатися і з догадки, і з традиційних логічних кроків. При цьому в процесі розробки одного напрямку розв'язання може раптово виникати інший, що деколи є навіть досить віддаленим від першого. Тобто, при диференціально-інтегральному стилі математичного мислення первинне поняття про розв'язок може виникати як неусвідомлений мисленнєвий продукт, так і як результат усвідомлених мисленнєвих дій.
   Виявивши індивідуальний стиль математичного мислення кожного учасника експерименту, ми продовжили вивчення творчого математичного мислення через з'ясування сутності стилевих відмінностей у функціонуванні числового та символьного компонентів цього мислення [8]. Для цього ми запропонували учасникам розв'язати серію задач на знаходження невідомої величини. В таких задачах необхідно знайти певне невідоме. При цьому невідомим може бути величина, відношення, кількісна оцінка певного геометричного об'єкта тощо. До цього класу належать задачі на обчислення математичних виразів, інтегралів, диференціалів, ймовірностей, площ різних фігур, об'ємів тіл, визначення характеру функцій, і т.п. За допомогою таких задач можна детальніше досліджувати зміст і якість функціонування числового й символьного компонентів творчого математичного мислення. Ці складові присутні в будь-якому творчому математичному процесі: в процесі розуміння, у процесі формування гіпотези розв'язку, у процесі апробації мисленнєвих гіпотез. Будучи формалізованими об'єктами дійсності, вони сприяють можливості застосування математичних методів до вивчення цієї дійсності. У процесі розв'язання багатьох математичних задач передбачається як кодування, так і розкодування реального змісту, що прихований за числами та математичними символами, саме тому, числовий і символьний компоненти творчого математичного мислення по-своєму проявляються в різних стилях математичного мислення.
   Носії диференціального стилю математичного мислення приділяють велику увагу вивченню змісту задачі. В першу чергу, це стосується віднесення її до того чи іншого виду математичних задач: задача-рівняння, задача-нерівність, задача на спільну роботу тощо. В подальшому вони детально обстежують складові елементи, які подані у вигляді математичних символів, та їх зв'язки. При цьому важливого орієнтовного значення набувають кількісні оцінки структурних елементів, що виражені числами та символами, тому дослідження структурних елементів проходить за їх допомогою. В результаті, студенти виявляють декілька операційних смислів різних структурних елементів, які базуються на різному співвідношенні реальних і прогнозованих кількісних оцінок та різному якісному змісті символьних виразів. їх розвиток потенційно може забезпечити різні напрямки пошуку розв'язку, хоч жоден з них спочатку не усвідомлюється.
   Ми спостерігали, що такі дії приводять не лише до з'ясування математичної сутності складових задачі, але і до можливості уподібнення даної задачі, (або її частини) із деякою відомою суб'єкту задачею, про що свого часу наголошував Д. Пойа [10]. Під цим кутом зору в процесі дослідження умови досліджувані часто свідомо виділяли різні кількісно означені математичні елементи та певне їх символьне вираження, які в подальшому служили їм орієнтирами для уподібнення нової задачі з відомою. Таким чином ідея уподібнення нової задачі до відомої стає центральною в цьому випадку і має своєю метою відшукання в суб'єктивному досвіді аналога до нової математичної задачі, орієнтуючись на деякі кількісно означені структурні елементи, їх кількісні параметри, зміст символу.
   В подальших мисленнєвих діях можна навіть виділити два види дій за аналогією, які спонукає той факт, що деякі структурні елементи мають певну кількісну оцінку та певний символьний зміст. Перші - це формальне застосування дій, пов'язаних із досвідом розв'язання конкретного виду задач - це дії за алгоритмом. Вони сформовані минулим досвідом, але не скеровані жодною гіпотезою розв'язання. На такому рівні, наприклад, часто з'ясовується область визначення значень для коренів конкретного рівняння, виконуються традиційні ілюстрації, обчислюється значення деяких величин. Не кожна з таких дій щоразу є необхідною або результативною. Однак, такі дії виконуються, породжуючи певну інформацію про складові задачі, хоч використовуватися в подальшому вона буде не завжди.
   Інша група дії за аналогією - це спроба реалізувати гіпотезу про подібність даної задачі до відомої суб'єкту. Така аналогія описана у дослідників математичного мислення [2, 4, 10]. Це дії, спрямовані на наповнення змістом первинного поняття розв'язку на основі провідної ідеї, спрямовані на її конкретизацію. Для реалізації такої ідеї у подальшому будується логічний ланцюг мисленнєвих кроків. Як правило, студенти з диференціальним стилем мислення будують його ретельно, піддаючи найрізноманітнішій перевірці, виявляючи й обстежуючи прихований зміст символьних математичних об'єктів, контролюючи кількісні співвідношення.
   Пізніше, виявлені суб'єктом, властивості математичних об'єктів (чи їх кількісна оцінка), що не задіяні в розв'язку, автоматично відходять на другий план, не спричиняючи жодного дискомфорту. Носії диференціального стилю математичного мислення старанно вивчали задачу, різнобічно досліджували її структурні елементи, проводячи різноманітні обчислення та перетворення символьних математичних виразів, але використали лише деякі з них. В поле зору потрапляли і якісні, і кількісні оцінки таких структурних елементів. Деякі вони навмисне віднаходили (обчислювали), але в кінцевому варіанті розв'язку посилаються не на всі (не всі їм знадобилися). Тобто має місце “неекономне” використання мисленнєвих зусиль. Однак таке “марнотратство” сприяло глибшому розумінню задачі.
   Неусвідомлені мисленнєві знахідки, що трапляються досліджуваним із таким стилем протягом описаних пошукових дій, детально обстежуються умовою й вимогою задачі і лише після цього використовуються в конструкції розв'язку. Процес апробації мисленнєвих результатів при цьому стилі весь час супроводжує пошукові дії, тому етап перевірки гіпотези розв'язку для таких суб'єктів зводиться до підстановки отриманого результату у рівняння, нерівність або у контекст текстової задачі для отримання впевненості в тому, що знайдене конкретне значення шуканої величини не порушує логіку умови задачі. Така перевірка за змістом є швидше підстрахуванням у правильності отриманого результату.
   Суб'єкти, що володіють інтегральним стилем математичного мислення, опановують зміст задачі досить швидко. В їх уяві складається топологічна схема математичного завдання (модель проблемної ситуації), вузловими точками якої є ті елементи, що мають кількісну оцінку, або певне символьне вираження (саме вони стають орієнтирами). Кількісна оцінка та якість символьного виразу є визначальною при наділенні структурного елемента певним операційним смислом, що сприяє виникненню догадки. Тобто первинне поняття розв'язку охоплює структурні елементи разом із їх кількісною оцінкою (частіше з усвідомленням того, що така оцінка може бути отримана) і деякі символьні вирази разом із їх якісною оцінкою.
   Носії інтегрального стилю мислення, досліджуючи числові й символьні дані задачі, спочатку акцентуючи увагу на тому, яку інформацію про якість розв'язку вони дають, як їх можна використати в процесі переструктурування даних під виниклу догадку. Тобто процес вивчення змісту завдання (процес її розуміння) непомітно переходить у процес формування гіпотези розв'язку, а гіпотези щодо змісту окремих зв'язків структурних елементів перероджуються у гіпотези щодо розв'язку і все це відбувається на фоні підвищеної значущості деяких кількісних і якісних оцінок елементів задачі.
   При розв'язанні задач на знаходження невідомої величини, частіше всього догадки, які виникають у студентів з інтегральним стилем математичного мислення, стосуються застосувань відомої задачі, відомого математичного мисленнєвого прийому. За змістом - це досить новаторські догадки. Ми спостерігали, що студенти не здійснювали планомірних усвідомлених мисленнєвих дій у пошуці задачі-аналога чи дії-аналога. Аналог виникав як результат неусвідомлених мисленнєвих актів раптово. Такі ситуації свого часу описував Ж. Адамар [1]. Таким чином, в цьому випадку, догадка виникає на тлі не зовсім досконало вивченої й усвідомленої умови задачі, коли не всі властивості структурних елементів з'ясовано, не всі зв'язки між ними виявлено. Виникнувши, під дією деяких кількісно означених структурних елементів і певної якості символьних виразів, догадка спрямовує процес розуміння умови в певне русло.
   В подальшому суб'єкт не прагне виявити всеможливі кількісні значення та різноманітні якості символьних виразів, а виявляє лише ті, що пов'язані з догадкою і сприяють її реалізації. Тому переведення змісту задачі на “свою” мову, побудова ілюстрацій, детальніше обстеження структурних елементів і їх властивостей - усі ці мікроетапи процесу розуміння задачі мають “забарвлення” виниклої догадки. Тобто розуміння-прогнозування може передувати розумінню-уподібненню, а завершувати може процес розуміння-об'єднання.
   Коли все це вдається вкласти в єдину загальну схему, суб'єкт відчуває впевненість у корисності догадки і вона перетворюється в провідну ідею, що є планом проведення обчислювальних і перетворювальних дій у подальшому. Отримане значення піддається перевірці. Нерідко це не просто перевірка обчислювальних дій, а перевірка контрприкладом, оберненою дією.
   Зауважимо, що зовні пошукові дії студентів з інтегральним стилем математичного мислення нагадують пошук невідомого відразу зі стартової позиції, без досконалого вивчення умови. Вони часто навіть пропускають традиційне для рівнянь і нерівностей з'ясування області визначення, проте обов'язково перевіряють отриманий розв'язок.
   Розв'язуючи задачу на знаходження невідомої величини, студенти з диференціально-інтегральним стилем математичного мислення також у першу чергу, акцентують увагу на тих об'єктах, що мають кількісні оцінки (числові чи символьні). Але поряд із цим із контексту задачі виділяються деякі елементи, що не мають такої оцінки, при цьому суб'єкт відчуває потребу в кількісній чи якісній їх оцінці: “От якби було відоме значення...., то...... Таким чином, для такого стилю, при розв'язанні задач на знаходження невідомої величини, орієнтирами стають математичні елементи, що не обов'язково містять виявлену кількісну чи якісну оцінку.
   Усвідомлення необхідності тієї чи іншої кількісної оцінки сприяє переформулюванню задачі на “свою” мову у двох (або більше) варіантах із певними припущеннями: 1) “Якщо б ця інформація була відома, то задача була б подібна до ...”, 2) “Якщо ця величина буде рівна ... , то задача подібна до ...” 3) “Якщо б цей елемент володів властивістю ..., то ...”. Тому, в подальшому, при такому стилі мислення, паралельно розвивається кілька напрямків пошуку, має місце кілька варіантів “свого” трактування змісту математичної задачі, що може супроводжуватися кількома ілюстраціями, виділенням кількох досить різних груп елементів, що стають орієнтирами в процесі продукування провідної ідеї, звідси і кілька варіантів первинного поняття розв'язку, що задіюють різні структурні елементи, кількісні і якісні оцінки яких виявлені, або виникає потреба у такому виявлені.
   Реалізація ідей в задачах на знаходження невідомої величини потребує різних обчислень, переструктурувань, які можуть “запозичуватись” студентами з таким стилем від процесу реалізації однієї гіпотези до процесу реалізації іншої. Нерідко розробка однієї ідеї може припинятись на користь розробки зовсім іншої. Однак, розробляючи кілька ідей, у випадку диференціально-інтегрального стилю математичного мислення, студентам деколи вдавалося одночасно реалізувати кілька з них, тобто отримати кілька розв'язків запропонованої задачі.
   Може статись, що ці розв'язки співпадають (шукана величина має однакове числове, чи символьне значення), тоді досліджуваний, отримавши суб'єктивне підтвердження того, що розв'язок вірний, в подальшому спрямовує свої інтелектуальні зусилля на аналіз методів розв'язання, для відбору кращого. Як правило, в таких випадках перевірка отриманого результату проводиться дещо спрощено. Той факт, що відповіді на поставлене запитання співпали, хоч шукались різними шляхами, служить у цьому випадку підтвердженням їх достовірності. Однак, це не завжди справедливо, бо суб'єкт може щоразу припускатись однієї і тієї ж помилки (частіше при виконанні обчислень “запозичувати” її в одного методу для другого) і в обох напрямках пошуку опиратись на неї.
   Коли ж студент із диференціально-інтегральним стилем математичного мислення отримує різні значення шуканої величини, йдучи різними шляхами пошуку, це повертає його до вихідних ланок міркування (навіть до вивчення умови), детального обстеження, обчислення кожного проміжного результату. В цьому випадку його мисленнєва діяльність нагадує пошуковий процес при диференціальному стилі. Але, якщо вдається відшукати помилку в одному з варіантів розв'язання, вони здатні взагалі відкинути цей розроблюваний план розв'язання і переключитись на інший Усе ж найхарактернішим є те, що досліджувані з диференціально-інтегральним стилем математичного мислення не поспішають оголошувати будь-який отриманий результат розв'язком. Для них тільки ретельно апробований кількісними параметрами задачі і якістю символьно виражених математичних об'єктів стає розв'язком математичної задачі.
   Таким чином, при розв'язанні задач на знаходження невідомої величини, для студентів із диференціально-інтегральним стилем математичного мислення процеси розуміння, формування гіпотези розв'язку, апробації мисленнєвих гіпотез носять розривний характер. Один процес може припинятись на користь іншого, замінюватись іншим. Функціонування числового і символьного компонентів творчого математичного мислення подано за допомогою алгоритму на рис. 2.

 

Рис. 2

   Висновки. Числова чи символьна оцінка, що містяться в математичній інформації, сприяє перетворенню структурних елементів в орієнтири пошукової діяльності для носіїв будь-якого стилю математичного мислення. При цьому, студенти з диференціальним стилем, контролюючи наявні кількісні і якісні оцінки (що виражені числами чи символами), намагаються створити багато таких самих для інших структурних елементів, а пізніше конструюють шуканий розв'язок з деяких із них. Тобто, в цьому випадку структурні елементи набувають певного операційного смислу завдяки усвідомленим обчислювальним чи перетворювальним діям з ними. При інтегральному стилі математичного мислення, студенти, також опираються на кількісні ознаки деяких елементів, але їх обчислювальні чи перетворювальні дії підпорядковуються догадці. В цьому випадку операційний смисл структурного елемента виникає мимовільно і спрямовує напрям пошуку розв'язку. Якщо досліджуваним властивий диференціально-інтегральний стиль, то їх пошуковий процес нагадує відразу обидва попередні. А висновок про якість отриманого результату вони роблять за допомогою додаткових мисленнєвих дій, що продовжують контролювати кількісні параметри математичної задачі та якість символьно виражених математичних об'єктів.

ЛІТЕРАТУРА

1. Адамар Ж. Исследования психологии процесса изобретения в области математики. - М.: Соврадио, 1970. - 152 с.
2. Балл Г.О. Теория учебных задач: Психолого-педагогический аспект. - М.: Педагогика, 1990. - 184 с.
3. Войцехович В.Э. Господствующие стили математического мышления //Стили в математике: социокультурная философия математики. - СПб., 1999. - С. 495-505.
4. Гнеденко Б.В. Математика и научное познание. - М.: Знание, 1983. - 64 с.
5. Кудряшов А.Ф. Модальные онтологии в математике // Стили в математике: социокультурная философия математики. - СПб.: РХГИ, 1999. - С. 130-135.
6. Мерлин B.C. Деятельность как опосредующее звено в связи разноуровневых свойств индивидуальности // Проблемы интегрального исследования индивидуальности. - Пермь. - 1978. - Вып. 2. - С. 15-40.
7. Мойсеєнко Л.А. Прояви математичного стилю мислення студентів у процесі розуміння творчих математичних задач // Вісник Прикарпатського університету. Філософські і психологічні науки. -Івано-Франківськ : Плай, 2007. - Вип. 12. - 4.2. - С. 13-21.
8. Мойсеєнко Л.А. Психологія творчого математичного мислення. - Івано-Франківськ: Факел, 2003. - 481 с
9. Перминов В.Я. Априорность и реальная значимость исходных представлений математики. // Стили в математики: социокультурная философия математики. - С. Пб.: РХГИ, 1999. - С 80-100.
10. Пойа Д. Как решать задачу. - М.: Учпедгиз, 1961. - 207 с.
11. Стили в математике: социокультурная философия математики. -СПб.: РХГИ, 1999. -675 с.
12. Султанова Л.Б. Роль интуиции и неявного знания в формировании стиля математического мышления // Стили в математике: социокультурная философия математики. - СПб.: РХГИ, 1999. - С. 66-76.
13. Холодная М.А. Психология интеллекта. Парадоксы исследования. - СПб.: Питер, 2002. - 272 с.

 
< Попередня   Наступна >

При використанні матеріалів сайту активне гіперпосилання на http://vuzlib.com обов'язкове!
Зворотний зв'язок
© 2010 www.VuzLib.com